无限不循环小数是有理数吗

曾经，我的侄子也曾提出过这样一个问题，那时的我同样对此感到好奇，只是我的老师未曾详细解释。现在，就让我来为你解释一下吧。

有理数的定义通常被理解为整数与分数的集合，其中整数包括正数、负数和零，而分数则是一个整数除以另一个非零整数的结果。

让我们以一个具体的例子来阐释这个概念。对于这个不断重复的数字0.716 716 716 716……，它是一个以716为循环节的无限循环小数。要证明它是有理数，我们需要将其表达为整数相除的形式。

第一步，我们将这个无限循环小数转换为有限小数的和。也就是说，我们将它写成0.716加上一系列以0.000 716为基准的项的和。

第二步，由于每个加项都是有限小数，我们可以将它们转化为分数形式。例如，0.716可以表示为716/1000，而后续的项也可以按照同样的方式表示。

第三步，我们注意到这是一个首项为716/1000，公比为1/1000的等比数列。利用等比数列的求和公式，我们可以得到这个数列的和。

这里提到的“∞”表示无穷大。然而在这个情境中，我们其实是在研究如何将一个看似无规律的数字通过数学手段转化成一个规律的数学表达式。

第四步，我们通过对数列求极限来得到结果。经过计算，（716/1000）×（1000/999）得出结果为716/999。这就意味着我们成功地将看似复杂的无限循环小数转化为了一个简单的分数形式716/999，从而证明了它是有理数。