复合求导公式大全

本篇内容是延续之前关于函数求导的探讨。

在前文中，我们已习了基础函数的求导方法，如（C）'=0、（a^x）'=a^xlna、（x^μ）'=μx^(μ-1)等。接下来，我们面临的问题是如何对简单函数的加减乘除组合进行求导。

对于像f(x)=2x^3±e^x、f(x)=2x^3e^x和f(x)=2x^3/e^x这样的函数，我们应该如何推导其导数呢？

以第一个函数f(x)=A(x)±B(x)为例，其导数可推导为f'(x)=(2x^3)'±(e^x)=6x^2±e^x。

类似地，对于乘法形式的函数f(x)=A(x)B(x)，其导数为f'(x)=(A'(x)B(x)+A(x)B'(x))。

再来看除法形式的函数f(x)=A(x)/B(x)，其导数可由商的求导法则得出，即f'(x)=[(A'(x)B(x)-A(x)B'(x))/(B(x))^2]。

理解了这些基本规则后，我们便可以进一步探讨更多函数的组合求导。不论是三个、四个还是N个简单函数的组合，其求导原理都是相同的，即先对每一部分进行求导，然后再将结果组合起来。

比如，对于f(x)=A(x)±B(x)±C(x)、g(x)=A(x)B(x)C(x)和h(x)=A(x)/B(x)/C(x)等复杂函数，其导数分别为f'(x)=A'(x)±B'(x)±C'(x)以及相应的乘积和商的求导法则。

当我们面对四到N个简单函数的组合时，依然可以按照这种思路进行推导。关键是理解并掌握基本的求导法则，然后按照运算顺序逐步计算。

我们来实际计算一个复杂的组合函数f(x)=(e^xsin x)/x+e^xcos xx^a的导数。

f'(x)的推导过程涉及到了链式法则、商的求导法则以及乘积的求导法则。经过详细的推导，我们得到f'(x)=1/x^2(e^xsin xx-e^xsin x-e^xsin xx^4+...+e^xcos x2x^3).

在此过程中，并没有特别的技巧，只需要按照运算规则逐步推算即可。